Question

已知函数f（x）=

2

3

x³-2ax²+3x（x∈R）．
（1）若a=1，点P为曲线y=f（x）上的一个动点，求以点P为切点的切线斜率取最小值时的切线方程；
（2）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a．

Answer 1

分析：（1）设出切线的斜率k，得到k等于f′（x）并把a=1代入到f（x）中求出解析式，根据二次函数求最小值的方法，求出k的最小值，然后把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值即可得到切点坐标，根据斜率和切点坐标写出切线方程即可；
（2）求出f′（x），要使f（x）为单调递增函数，必须满足f'（x）＞0，即对任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）大于0，解出a小于一个关系式，利用基本不等式求出这个关系式的最小值，得到关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围，在范围中找出满足条件的最大整数即可．

解答：解：（1）设切线的斜率为k，则k=f′（x）=2x²-4x+3=2（x-1）²+1，当x=1时，k_min=1．
把a=1代入到f（x）中得：f（x）=

2

3

x³-2x²+3x，所以f（1）=

2

3

-2+3=

5

3

，即切点坐标为（1，

5

3

）
∴所求切线的方程为y-

5

3

=x-1，即3x-3y+2=0．
（2）f′（x）=2x²-4ax+3，因为y=f（x）为单调递增函数，则对任意的x∈（0，+∞），恒有f′（x）＞0，
f′（x）=2x²-4ax+3＞0，
∴a＜

2x2+3

4x

=

x

2

+

3

4x

，而

x

2

+

3

4x

≥

6

2

，当且仅当x=

6

2

时，等号成立．
所以a＜

6

2

，则所求满足条件的最大整数a值为1．

点评：此题是一道综合题，要求学生会根据导数求出切线的斜率，掌握不等式恒成立时所取的条件，利用会利用基本不等式求函数的最小值及会求二次函数的最小值．