Question

已知函数f（x）=2^ax+2（a为常数）
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）若a=1，x∈（1，2]，求函数f（x）的值域．
（3）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用指数函数的定义域来考虑．
（2）利用函数f（x）在（1，2]上的单调性求函数的值域．
（3）根据复合函数的单调性，函数u=ax+2必须为减函数．

解答：解：（1）函数y=2^ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R．
（2）因为a=1，所以f（x）=2^x+2．易知此时f（x）为增函数．
又因为1＜x≤2，所以f（1）＜f（x）≤f（2），即8＜f（x）≤16．
所以函数f（x）的值域为（8，16]．
（3）因为f（x）为减函数，而y=2^u是增函数，
所以函数u=ax+2必须为减函数．所以得a＜0

点评：本题考查指数函数的定义域、值域、单调性，复合函数的单调性，体现转化的数学思想．