Question

（本小题满分14分）
如图,P-ABC是底面边长为1的正三棱锥,D、E、F分别为棱长PA、PB、PC上的点, 截面DEF∥底面ABC, 且棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

（1）求证：P-ABC为正四面体；
（2）棱PA上是否存在一点M，使得BM与面ABC所成的角为45°？若存在，求出点M的位置；若不存在，请说明理由。
（3）设棱台DEF-ABC的体积为V=, 是否存在体积为V且各棱长均相等的平行六面体,使得它与棱台DEF-ABC有相同的棱长和，并且该平行六面体的一条侧棱与底面两条棱所成的角均为60°? 若存在,请具体构造出这样的一个平行六面体,并给出证明；若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）见解析 （2）M点 满足AM=    
（3）构造棱长均为,底面为正方形或锐角为60°的菱形的平行六面体

试题分析： 
（1）解：∵棱台DEF-ABC与棱锥P-ABC的棱长和相等
∴DE+EF+FD=PD+OE+PF.                 2分
又∵截面DEF∥底面ABC,
∴DE=EF=FD=PD=OE=PF,∠DPE=∠EPF=∠FPD=60°
∴P-ABC是正四面体.                  4分
（2）（5分）
作PO⊥面ABC于O，MN⊥面ABC于N，
∵A、M、P三点共线      ∴A、N、O三点共线，延长AO交BC于G
∴∠MBN=45°，MN//PO
∵P-ABC为棱长为1的正四面体
∴ AO=，PO=             6分    
设MN=x，则BN=x，且
∴AM=，AN=
∵AG是等边△ABC的中线             ∴∠BAN=30°
∴BN²=AN²+AB²-2ABANcos30°                            8分
解得x=
∴AM=                                   9分
（3）（5分）
存在满足条件的平行六面体.                               10分
棱台DEF-ABC的棱长和为定值6,则平行六面体的棱长均为,      11分
设该六面体一条侧棱长为A₁B₁，与底面两条棱A₁C₁和A₁D₁的夹角为60°，设底面四边形的锐角为2α, 作B₁E₁⊥底面A₁C₁D₁于E₁，E₁F₁⊥A₁C₁
∵∠B₁A₁C₁=∠B₁A₁D₁
∴∠C₁A₁E₁=α 
则A₁F₁=，A₁E₁=，
B₁E₁=
则V=
解得 或   
∴2α=90°或60°                    13分
故构造棱长均为,底面为正方形或锐角为60°的菱形的平行六面体即满足要求.  14分
点评：该题综合性较强，涉及多知识点的交汇