练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    (理)已知函数f(x)=xlnx.

    (1)求函数f(x)的单调区间和最小值;

    (2)当b＞0时，求证:bb≥(其中e=2.718 28…是自然对数的底数);

    (3)若a＞0,b＞0，证明f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).

    (文)已知向量m=(x2,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且m∥n,把其中x,y所满足的关系式记为y=f(x).若f′(x)为f(x)的导函数,F(x)=f(x)+af′(x)(a＞0),且F(x)是R上的奇函数.

    (1)求和c的值.

    (2)求函数f(x)的单调递减区间(用字母a表示).

    (3)当a=2时,设0＜t＜4且t≠2,曲线y=f(x)在点A(t,f(t))处的切线与曲线y=f(x)相交于点B(m,f(m))(A与B不重合),直线x=t与y=f(m)相交于点C,△ABC的面积为S,试用t表示△ABC的面积S(t),并求S(t)的最大值.

    答案：(理)解:(1)∵f′(x)=lnx+1(x＞0),

    令f′(x)≥0,即lnx≥-1=lne-1.∵e=2.718 28…＞1,∴y=lnx在(0,+∞)上是单调递增函数.

    ∴x≥e-1=.∴x∈［,+∞).同理,令f′(x)≤0可得x∈(0,］.∴f(x)的单调递增区间为［,+∞),单调递减区间为(0,］.

    由此可知y=f(x)min=f()=.

    (2)证明:由(1)可知当b＞0时,有f(b)≥f(x)min=,∴blnb≥,

    即ln(bb)≥=ln().∴bb≥().

    (3)证明:将f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b)变形,得f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2,

    即证f(a)+f(a+b-a)≥f(a+b)-(a+b)ln2.设函数g(x)=f(x)+f(k-x)(k＞0).

    ∵f(x)=xlnx,∴g(x)=xlnx+(k-x)ln(k-x).∴0＜x＜k.∵g′(x)=lnx+1-ln(k-x)-1=ln,

    令g′(x)＞0,则有＞1＞0＜x＜k.

    ∴函数g(x)在［,k)上单调递增,在(0,］上单调递减.∴g(x)的最小值为g(),即总有g(x)≥g().而g()=f()+f(k-)=kln=k(lnk-ln2)=f(k)-kln2,∴g(x)≥f(k)-kln2,

    即f(x)+f(k-x)≥f(k)-kln2.令x=a,k-x=b,则k=a+b.∴f(a)+f(b)≥f(a+b)-(a+b)ln2.

    ∴f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).

     (文)解：(1)∵f(x)=x3+bx2+cxz∴f′(x)=3x2+2bx+c.

    ∵F(x)=f(x)+af′(x)=x3+(b+3a)x2+(c+2ab)x+ac为奇函数,由F(-x)=-F(x),可得b+3a=0,ac=0.

    ∵a＞0,∴b=-3a,c=0.∴=-3,c=0.

    (2)由(1)可得f(x)=x3-3ax2,∴f′(x)=3x(x-2a).令3x(x-2a)≤0,解得0≤x≤2a.∴函数f(x)的单调递减区间为［0,2a］.

    (3)当a=2时,曲线y=f(x)在点A(t,f(t))处的切线方程为y-f(t)=f′(t)(x-t),kAB=f′(t)=3t(t-4).

    联立方程组化简,得f(x)-f(t)=f′(t)(x-t),

    即x3-6x2-t3+6t2=(3t2-12t)(x-t),(x-t)(x2+xt+t2-6x-6t)=(x-t)(3t2-12t).

    ∵A、B不重合,∴x≠t.∴x2+xt+t2-6x-6t=3t2-12t.∴x2+(t-6)x-2t2+6t=0,

    即(x-t)(x+2t-6)=0.∵x≠t,∴x=-2t+6.又另一交点为B(m,f(m)),∴m=-2t+6.

    S(t)=|m-t|·|f(m)-f(t)|=(m-t)2·|kAB|=(t-2)2·3t(4-t)=(t-2)2(4-t)t,其中t∈(0,2)∪(2,4).

    令h(t)=(t-2)2(4-t)t,其中t∈(0,2)∪(2,4).∵h(t)=-(t4-8t3+20t2-16t),

    ∴h′(t)=-4(t3-6t2+10t-4)=-4(t-2)(t-2+)(t-2-).

    由解得0＜t≤2-,或2＜t≤2+.

    于是函数h(t)在区间(0,2-］、(2,2+］上是单调增函数;在区间［2-,2)、［2+,4)上是单调减函数.当t=2-和t=2+时,函数y=h(t)有极大值.

    ∴h(t)max=h(2-)=h(2+)=4.∴S(t)max=54.

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网精英家教网（理）已知函数f(x)=
    ln(2-x2)
    |x+2|-2
    ．
    （1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
    （2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
    （3）如图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列
    {an}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．
    （文）如图，在平面直角坐标系中，方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．
    （1）求证：F＜0；
    （2）若四边形ABCD的面积为8，对角线AC的长为2，且
    AB
    •
    AD
    =0    ，求D2+E2-4F的值；
    （3）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH⊥AB且垂足为H．试用平面解析几何的研究方法判
    断点O、G、H是否共线，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （理）已知函数f(x)=
    		sin2x-(a-4)(sinx-cosx)+a
    的定义域为{x|2kπ≤x≤2kπ+
    π
    2
    ，k∈Z}    ，则实数a的取值范围是
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•普陀区三模）（理）已知函数f(x)=
    sinπxx∈[0，1]
    log2011xx∈(1，+∞)
    若满足f（a）=f（b）=f（c），（a、b、c互不相等），则a+b+c的取值范围是
    （2，2012）
    （2，2012）
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2011•普陀区三模）（理）已知函数f(x)=
    ln(2-x2)|x+2|-2
    ．
    （1）试判断f（x）的奇偶性并给予证明；
    （2）求证：f（x）在区间（0，1）单调递减；
    （3）右图给出的是与函数f（x）相关的一个程序框图，试构造一个公差不为零的等差数列{an}，使得该程序能正常运行且输出的结果恰好为0．请说明你的理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•嘉定区一模）（理）已知函数f(x)=log2
    		2
    x
    1-x
    ，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是f（x）图象上两点．
    （1）若x1+x2=1，求证：y1+y2为定值；
    （2）设Tn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，求Tn关于n的解析式；
    （3）对（2）中的Tn，设数列{an}满足a1=2，当n≥2时，an=4Tn+2，问是否存在角a，使不等式(1-
    1
    a1
    )(1-
    1
    a2
    )    …(1-
    1
    an
    )＜
    sinα
    		2n+1
    对一切n∈N*都成立？若存在，求出角α的取值范围；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案