Question

6．求值：
（1）$\frac{2cos10°-sin20°}{cos20°}$．
（2）已知α，β为锐角，sinα=$\frac{8}{17}$，cos（α-β）=$\frac{21}{29}$，求cosβ的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式、两角和差的余弦公式求得所给式子的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系、两角和差的余弦公式求得cosβ的值．

解答 解：（1）原式=$\frac{2cos（30°-20°）-sin20°}{cos20°}$=$\frac{2cos30°cos20°+2sin30°sin20°-sin20°}{cos20°}$=$\frac{2cos30°cos20°}{cos20°}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵sinα=$\frac{8}{17}$＜$\frac{1}{2}$，α为锐角，∴0＜α＜$\frac{π}{6}$．
∵cos（α-β）=$\frac{21}{29}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，α-β∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），0＜β＜$\frac{π}{2}$，∴-$\frac{π}{2}$＜α-β＜0．
∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{15}{17}$，sin（α-β）=-$\sqrt{1-cos2（α-β）}$=-$\frac{20}{29}$，
∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=$\frac{15}{17}$×$\frac{21}{29}$+$\frac{8}{17}$×（-$\frac{20}{29}$）=$\frac{155}{493}$．

点评 本题主要考查诱导公式、两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．