Question

10．已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+2$\sqrt{3}$），则实数c的值是（　　）

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 12

Answer 1

分析 根据函数的值域求出a与b的关系，再根据不等式的解集得方程f（x）=c的两个根为m，m+2$\sqrt{3}$，
利用根与系数的关系即可求出c的值．

解答 解：∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），
∴f（x）=x²+ax+b=0只有一个根，即△=a²-4b=0，
∴b=$\frac{1}{4}$a²；
又不等式f（x）＜c的解集为（m，m+2$\sqrt{3}$），
即为x²+ax+$\frac{1}{4}$a²＜c解集为（m，m+2$\sqrt{3}$），
则x²+ax+$\frac{1}{4}$a²-c=0的两个根为m，m+2$\sqrt{3}$，
由根与系数的关系，得m+m+2$\sqrt{3}$=-a①，
m（m+2$\sqrt{3}$）=$\frac{1}{4}$a²-c②，
把①代入②，化简得c=3．
故选：A．

点评 本题考查了一元二次不等式以及根与系数关系的应用问题，也考查了分析求解的能力和计算能力，是中档题