Question

16．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，右焦点F（1，0），点P在椭圆C上，且在第一象限内，直线PQ与圆O：x²+y²=b²相切于点M．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求|PM|•|PF|的取值范围；
（3）若OP⊥OQ，求点Q的纵坐标t的值．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆的方程；
（2）设P（x₀，y₀），运用两点的距离公式和焦半径公式，结合椭圆的范围，即可得到所求范围；
（3）方法一、讨论当PM⊥x轴时，当PM不垂直于x轴时，设出直线方程，联立椭圆方程，运用向量垂直的条件：数量积为0，计算即可得到所求值；
方法二、设P（x₀，y₀），则直线OQ：$y=-\frac{x_0}{y_0}x$，求得$Q（-\frac{y_0}{x_0}t，t）$，由OP⊥OQ，可得OP•OQ=OM•PQ，再由两点的距离公式，化简整理即可得到所求值．

解答 解：（1）由题意可得$\left\{\begin{array}{l}\frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\ c=1\end{array}\right.$，
∴c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）设P（x₀，y₀），则$\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{3}=1（0＜{x_0}＜2）$，
PM=$\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2-3}=\sqrt{{x_0}^2+3-\frac{3}{4}{x_0}^2-3}=\frac{1}{2}{x_0}$，
PF=$2-\frac{1}{2}{x_0}$，∴PM•PF=$\frac{1}{4}{x_0}（4-{x_0}）=-\frac{1}{4}{（{x_0}-2）^2}+1$，
∵0＜x₀＜2，
∴|PM|•|PF|的取值范围是（0，1）；
（3）法一：①当PM⊥x轴时，P$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，Q$（\sqrt{3}，t）$或$（-\sqrt{3}，t）$，
由$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，解得$t=±2\sqrt{3}$；
②当PM不垂直于x轴时，设P（x₀，y₀），PQ方程为y-y₀=k（x-x₀），
即kx-y-kx₀+y₀=0，
∵PQ与圆O相切，∴$\frac{{|k{x_0}-{y_0}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{3}$，
∴${（k{x_0}-{y_0}）^2}=3{k^2}+3$
∴2kx₀y₀=${k^2}{x_0}^2+{y_0}^2-3{k^2}-3$，
又$Q（\frac{{t-{y_0}+k{x_0}}}{k}，t）$，
所以由$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$得$t=\frac{{{x_0}（{y_0}-k{x_0}）}}{{{x_0}+k{y_0}}}$，
∴${t^2}=\frac{{{x_0}^2{{（{y_0}-k{x_0}）}^2}}}{{{{（{x_0}+k{y_0}）}^2}}}$=$\frac{{{x_0}^2{{（k{x_0}-{y_0}）}^2}}}{{{x_0}^2+{k^2}{y_0}^2+2k{x_0}{y_0}}}$
=$\frac{{{x_0}^2（3{k^2}+3）}}{{{x_0}^2+{k^2}{y_0}^2+{k^2}{x_0}^2+{y_0}^2-3{k^2}-3}}$
=$\frac{{{x_0}^2（3{k^2}+3）}}{{（1+{k^2}）{x_0}^2+（1+{k^2}）（3-\frac{3}{4}{x_0}^2）-3{k^2}-3}}$=12，
∴$t=±2\sqrt{3}$，
综上可得，t=±2$\sqrt{3}$．
法二：设P（x₀，y₀），则直线OQ：$y=-\frac{x_0}{y_0}x$，∴$Q（-\frac{y_0}{x_0}t，t）$，
∵OP⊥OQ，∴OP•OQ=OM•PQ，
∴$\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2}•\sqrt{\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2}}{t^2}+{t^2}}=\sqrt{3}•\sqrt{{{（{x_0}+\frac{y_0}{x_0}t）}^2}+（{y_0}-t}{）^2}$，
∴$\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2}•\sqrt{\frac{t^2}{{{x_0}^2}}（{x_0}^2+{y_0}^2）}=\sqrt{3}•\sqrt{{x_0}^2+\frac{{{y_0}^2}}{{{x_0}^2}}{t^2}+{y_0}^2+{t^2}}=\sqrt{3}•\sqrt{\frac{{{x_0}^2+{y_0}^2}}{{{x_0}^2}}（{x_0}^2+{t^2}）}$
∴$（{x_0}^2+{y_0}^2）{t^2}=3（{x_0}^2+{t^2}）$，∴${t^2}=\frac{{3{x_0}^2}}{{{x_0}^2+{y_0}^2-3}}$，
∵$\frac{{{x_0}^2}}{4}+\frac{{{y_0}^2}}{3}=1$，∴${y_0}^2=3-\frac{{3{x_0}^2}}{4}$，∴${t^2}=\frac{{3{x_0}^2}}{{\frac{1}{4}{x_0}^2}}=12$，
∴$t=±2\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式，考查椭圆的焦半径公式和椭圆的范围，同时考查向量垂直的条件，考查化简整理的运算求解的能力，属于中档题．