Question

设x，y满足约束条件

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

，若目标函数z=ax+by，（a＞0，b＞0）的最大值为12，则

1

a

+

3

2b

的最小值为

25

12

．

Answer 1

分析：已知2a+3b=6，求+的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．

解答：解：不等式

3x-y-6≤0 x-y+2≥0 x≥0，y≥0

表示的平面区域如图所示阴影部分，
当直线ax+by=z（a＞0，b＞0）
过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点（4，6）时，
目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，即2a+3b=6，而

1

a

+

3

2b

=

1

6

（

1

a

+

3

2b

）（2a+3b）=

1

3

+

3

4

+

1

6

（

3b

a

+

3a

b

）≥

13

12

+1=

25

12

，当且仅当a=b=

6

5

时取等号．
故

1

a

+

3

2b

的最小值为：

25

12

．
故答案为：

25

12

．

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．