Question

已知双曲线G的中心在原点，它的渐近线与圆x²＋y²－10x＋20＝0相切．过点P(－4，0)作斜率为的直线l，使得l和G交于A，B两点，和y轴交于点C，并且点P在线段AB上，又满足|PA|·|PB|＝|PC|²．

(1)求双曲线G的渐近线的方程；

(2)求双曲线G的方程；

(3)椭圆S的中心在原点，它的短轴是G的实轴．如果S中垂直于l的平行弦的中点的轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分AB，若P(x，y)(y＞0)为椭圆上一点，求当△ABP的面积最大时点P的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)设双曲线G的渐近线的方程为y＝kx，

　　则由渐近线与圆x²＋y²－10x＋20＝0相切可得＝，

　　所以k＝±，即双曲线G的渐近线的方程为y＝±x．　3分

　　(2)由(1)可设双曲线G的方程为x²－4y²＝m，

　　把直线的方程y＝(x＋4)代入双曲线方程，

　　整理得3x²－8x－16－4m＝0，

　　则x_A＋x_B＝，x_Ax_B＝－．(*)

　　∵|PA|·|PB|＝|PC|²，P、A、B、C共线且P在线段AB上，

　　∴(x_P－x_A)(x_B－x_P)＝(x_P－x_C)²，即(x_B＋4)(－4－x_A)＝16，

　　整理得4(x_A＋x_B)＋x_Ax_B＋32＝0．将(*)代入上式得m＝28，

　　∴双曲线的方程为－＝1．　7分

　　(3)由题可设椭圆S的方程为＋＝1(a＞2)，

　　设垂直于l的平行弦的两端点分别为M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，MN的中点为P(x₀，y₀)，

　　则＋＝1，＋＝1，

　　两式作差得＋＝0．

　　由于＝－4，x₁＋x₂＝2x₀，y₁＋y₂＝2y₀，所以－＝0，

　　所以，垂直于的平行弦中点的轨迹为直线－＝0截在椭圆S内的部分．

　　又由已知，这个轨迹恰好是G的渐近线截在S内的部分，所以＝，即a²＝56，

　　故椭圆S的方程为＋＝1．　11分

　　由题意知满足条件的P点必为平行于AB且与椭圆相切的直线m在椭圆上的切点，易得切线m的方程为，解得切点坐标，则P点的坐标为　13分