Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．且左右顶点分别为A（一1，0）、B（1，0）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点F且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l交椭圆于C、D两点，|CF|=λ|DF|（|CF|＞|DF|），求λ的值；
（3）过P（-$\frac{5}{3}$，0）的直线交椭圆于M、N两点（异于A、B两点），记直线AM、AN 的斜率分别为k₁、k₂，问k₁与K₂的乘积是否为定值？若为定值，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过左右顶点的坐标可设椭圆方程x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，进而利用离心率计算即得结论；
（2）通过（1）可知F（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），进而可知直线l方程y=x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，通过联立直线l与椭圆方程计算可知x=0或x=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，进而可知C（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$），利用两点间距离公式计算即得结论；
（3）通过设过P（-$\frac{5}{3}$，0）交椭圆于M、N两点（异于A、B两点）的直线方程为y=k（x+$\frac{5}{3}$），并与椭圆方程联立利用韦达定理可知x_M+x_N=-$\frac{20{k}^{2}}{3（2{k}^{2}+1）}$，x_Mx_N=$\frac{50{k}^{2}-9}{9（2{k}^{2}+1）}$，进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵左右顶点分别为A（一1，0）、B（1，0），
∴椭圆方程为：x²+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
又∵离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{1-{b}^{2}}}{1}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴b²=$\frac{1}{2}$，
∴椭圆的标准方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}$=1；
（2）由（1）可知F（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0），
∵直线l的倾斜角为$\frac{π}{4}$，
∴直线l方程为：y=x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
联立直线l与椭圆方程，消去y整理可知：$3{x}^{2}=2\sqrt{2}x$，
解得：x=0或x=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又∵|CF|＞|DF|，
∴C（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），D（$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\frac{\sqrt{2}}{6}$），
∴|CF|=$\sqrt{（0-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（{-\frac{\sqrt{2}}{2}-0）}^{2}}$=1，|DF|=$\sqrt{（\frac{2\sqrt{2}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{6}-0）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴λ=$\frac{|CF|}{|DF|}$=$\frac{1}{\frac{1}{3}}$=3；
（3）结论：k₁与k₂的乘积为定值2．
理由如下：
设过P（-$\frac{5}{3}$，0）交椭圆于M、N两点（异于A、B两点）的直线斜率为k（k≠0），
则该直线方程为：y=k（x+$\frac{5}{3}$），与椭圆方程联立，消去y可知：
（2k²+1）x²+$\frac{20{k}^{2}}{3}$x+$\frac{50{k}^{2}}{9}$-1=0，
∴x_M+x_N=-$\frac{20{k}^{2}}{3（2{k}^{2}+1）}$，x_Mx_N=$\frac{50{k}^{2}-9}{9（2{k}^{2}+1）}$，
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{M}-0}{{x}_{M}+1}$•$\frac{{y}_{N}-0}{{x}_{N}+1}$
=$\frac{{k}^{2}（{x}_{M}+\frac{5}{3}）（{x}_{N}+\frac{5}{3}）}{{x}_{M}{x}_{N}+（{x}_{M}+{x}_{N}）+1}$
=$\frac{{k}^{2}[\frac{50{k}^{2}-9}{9（2{k}^{2}+1）}-\frac{5}{3}•\frac{20{k}^{2}}{3（2{k}^{2}+1）}+\frac{25}{9}]}{\frac{50{k}^{2}-9}{9（2{k}^{2}+1）}-\frac{20{k}^{2}}{3（2{k}^{2}+1）}+1}$
=2．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．