Question

（2011•揭阳一模）已知函数f（x）=sin（π-x）-cosx，（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的最大值和最小值；
（3）若f(α)=

1

4

，α∈(0，

π

2

)，求sinα+cosα的值．

Answer 1

分析：（1）化简函数f（x）的解析式为

2

sin(x-

π

4

)，由此求得数f（x）的最小正周期．
（2）根据函数f（x）的解析式求出f（x）的最大值和最小值．
（3）由f(α)=

1

4

得sinα-cosα=

1

4

，平方求得sinαcosα的值，根据α的范围以及(sinα+cosα)2=1+sin2α=1+

15

16

=

31

16

求得sinα+cosα的值．

解答：解：（1）∵f(x)=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，x∈R，------（2分）
∴函数f（x）的最小正周期T=2π．---（3分）
（2）函数f（x）的最大值和最小值分别为

2

，-

2

．------（5分）
（3）由f(α)=

1

4

得sinα-cosα=

1

4

，
∴(sinα-cosα)2=

1

16

，-----------（6分）
1-sin2α=

1

16

，sin2α=

15

16

，-----------（7分）
∴(sinα+cosα)2=1+sin2α=1+

15

16

=

31

16

．---------（9分）
∵α∈(0，

π

2

)，∴sinα+cosα＞0，
∴sinα+cosα=

31

4

．----------（12分）

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调性、周期性、以及最值，属于中档题．