Question

某批n件产品的次品率为1%，现在从中任意地依次抽出2件进行检验，问：
（1）当n=100，1000，10000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到一件次品的概率各是多少？（精确到0.00001）
（2）根据（1），谈谈你对超几何分布与二项分布关系的认识．

Answer 1

分析：（1）当n=100时，如果放回，是二项分布．其概率为C₂¹•0.01•0.99=0.0198．如果不放回，是超几何分布．概率为

C 1 1 C 1 99

C 2 100

=0.2．
当n=1000时，如果放回，是二项分布．其概率为 C₂¹•0.01•0.99=0.0198．如果不放回，是超几何分布．概率为

C 1 10 C 1 990

C 2 1000

≈0.0198．．
当n=10000时，如果放回，这是二项分布．其概率为 C₂¹•0.01•0.99=0.0198．如果不放回，是超几何分布．概率为

C 1 100 • C 1 9900

C 2 10000

≈0.0198．
（2）对超几何分布与二项分布关系的认识从共同点、不同点和联系三个方面进行说明．

解答：解：（1）当n=100时，
如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为
C₂¹•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，这是超几何分布．100件产品中次品数为1，正品数是99，
从100件产品里抽2件，总的可能是C₁₀₀²，次品的可能是C₁¹C₉₉¹．
所以概率为

C 1 1 C 1 99

C 2 100

=0.2．
当n=1000时，
如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为
C₂¹•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，这是超几何分布．1000件产品中次品数为10，正品数是990，
从1000件产品里抽2件，总的可能是C₁₀₀₀²，次品的可能是C₁₀¹C₉₉₀¹．
所以概率为是

C 1 10 C 1 990

C 2 1000

≈0.0198．
如果放回，这是二项分布．抽到的2件产品中有1件次品1件正品，其概率为
C₂¹•0.01•0.99=0.0198．
如果不放回，这是超几何分布．10000件产品中次品数为1000，正品数是9000，
从10000件产品里抽2件，总的可能是C₁₀₀₀₀²，次品的可能是C₁₀₀¹C₉₉₀₀¹．
所以概率为

C 1 100 • C 1 9900

C 2 10000

≈0.0198．
（2）对超几何分布与二项分布关系的认识：
共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．
不同点：1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；
        2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；
联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．

点评：本题考查二项分布和超几何分布的性质和应用，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意区分超几何分布与二项分布的共同点、不同点和联系．