Question

已知k为正常数，方程x²-kx+u=0有两个正数解x₁，x₂．
（1）求实数u的取值范围；
（2）求使不等式（-x₁） （-x₂）≥（-）²恒成立的k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据方程x²-kx+u=0有两个正数解x₁，x₂．可建立不等式组，从而得解；
（2）先利用韦达定理，将左边表示成实数u的式子，利用导数法研究其最小值，从而解决恒成立问题．
解答：解：（1）由于方程x²-kx+u=0有两个正数解x₁，x₂．
所以…（3分）解得0＜u≤，
即实数u的取值范围是（0，]；…（6分）
（2）（-x₁） （-x₂）=x₁x₂+-=u-+2．
令f （u）=u-+2（u＞0），所以f′（u）=1+，…（8分）
（i）若k≥1，因为0＜u≤，所以f′（u）＞0，从而f （u）在（0，]为增函数，所以
u-+2≤f （）=-+2=（-（）²，
即（-x₁） （-x₂）≥（（-（）²不恒成立．…（10分）
（ii）若0＜k＜1，由f′（u）=1+=0，得u=，
当u∈（0，），f′（u）＜0；当u∈（，+∞），f′（u）＞0，
所以函数f （u）在（0，]上递减，在[，+∞）上递增，…（12分）
要使函数f （u）在（0，]上恒有f （u）≥f （），必有≥，即k⁴+16 k²-16≤0，…（14分）
解得0＜k≤2．综上，k的取值范围是（0，2]．…（16分）
点评：本题以方程为载体，考查方程根问题，考查恒成立的处理，关键是进行分类讨论，利用导数研究函数的最小值．