Question

已知椭圆的的右顶点为A，离心率，过左焦点作直线与椭圆交于点P，Q，直线AP，AQ分别与直线交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）证明以线段为直径的圆经过焦点．

Answer 1

（Ⅰ） 椭圆方程为．（Ⅱ） 见解析

（Ⅰ）由离心率，过左焦点F（-1，0），可求得 c=1，a=2，从而可求b=" 3" ，进而可得椭圆方程；（Ⅱ） 斜率存在时，设直线l方程为 y=k（x+1），与椭圆方程联立，消去y 整理得．进而可求M，N的坐标关系，从而可证；斜率不存在时，同理可证，从而以线段MN为直径的圆经过定点F
（Ⅰ）由已知 ∴，
∴ 椭圆方程为．——————————5分
（Ⅱ） 设直线方程为 ，
由   得．
设，则．—————7分
设，则由共线，得
  有 ．同理 ．
∴．——————9分

∴，即，以线段为直径的圆经过点F；
当直线的斜率不存在时，不妨设．则有,
∴，即，以线段为直径的圆经过点F．
综上所述，以线段为直径的圆经过定点F．