Question

已知抛物线F：y²=4x
（1）△ABC的三个顶点在抛物线F上，记△ABC的三边AB、BC、CA所在的直线的斜率分别为k_AB，k_BC，k_CA，若A的坐标在原点，求k_AB-k_BC+k_CA的值；
（2）请你给出一个以P（2，1）为顶点、其余各顶点均为抛物线F上的动点的多边形，写出各多边形各边所在的直线斜率之间的关系式，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），把B、C点左边代入抛物线方程，利用斜率公式计算k_AB-k_BC+k_CA的值即可；
（2）先研究△PBC，四边形PBCD，五边形PBCDE，再研究n=2k，n=2k-1（k∈N，k≥2）边形的情形，最后研究n边形P₁P₂…Pn（k∈N，k≥3），按由特殊到一般的思路逐步得到结论；
解答：解：（1）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵，，
∴k_AB-k_BC+k_CA=+=-+=0；
（2）①研究△PBC，
k_PB-k_BC+k_CP=-+=-+==1；
②研究四边形PBCD，
k_PB-k_BC+k_CD-k_DP=-+-=0；
③研究五边形PBCDE，
k_PB-k_BC+k_CD-k_DE+k_EP=-+-==1；
④研究n=2k边形P₁P₂…P_2k（k∈N，k≥2），其中P₁=P，
有-…+=0，
证明：左边=+===0=右边；
⑤研究n=2k-1边形P₁P₂…P_2k-1（k∈N，k≥2），其中P₁=P，
有+-…+（-1）^2k-2=1，
证明：左边=+===1=右边；
⑥研究n边形P₁P₂…Pn（k∈N，k≥3），其中P₁=P，
有+-…+（-1）^n-1=，
证明：左边=+（-1）^n-1=[1+（-1）^n-1]==右边．
点评：本题考查直线斜率、直线与圆锥曲线的位置关系，考查学生逻辑推理能力及探究问题解决问题的能力．