Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，cosθ）（θ∈R），$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$）．
（1）当θ为何值时，向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$不能作为平面向量的一组基底；
（2）求$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{b}$上的投影的最大值；
（3）求|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）要向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$不能作为平面向量的一组基底，则（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）与$\overrightarrow{b}$共线，得到tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而求出θ；
（2）根据$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2，再根据三角函数的性质即可求出最大值；
（3）利用向量的模的定义化简，得到|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|²=-8sin（θ+$\frac{π}{3}$）+17，再根据三角函数的性质即可求出范围．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（sinθ，cosθ）（θ∈R），$\overrightarrow{b}$=（1，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$=（sinθ+1，cosθ+$\sqrt{3}$），
∵向量$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{b}$不能作为平面向量的一组基底，
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）与$\overrightarrow{b}$共线，
∴$\sqrt{3}$（sinθ+1）=cosθ+$\sqrt{3}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴θ=kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
（2）∵（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）$•\overrightarrow{b}$=sinθ+$\sqrt{3}$cosθ+4=2sin（θ+$\frac{π}{3}$）+4，|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{{1}^{2}+3}$=2．
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{b}$上的投影为$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}$=sin（θ+$\frac{π}{3}$）+2，
当θ+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$+2kπ时，有最大值，即为3．
∴$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{b}$上的投影的最大值为3；
（3）∵$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$=（sinθ-2，cosθ-2$\sqrt{3}$），
∴|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|²=（sinθ-2）²+（cosθ-2$\sqrt{3}$）²=-8sin（θ+$\frac{π}{3}$）+17，
∵-1≤sin（θ+$\frac{π}{3}$）≤1，
∴9≤-8sin（θ+$\frac{π}{3}$）+17≤25，
∴3≤|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|≤5．

点评 本题主要考查两个向量的坐标运算，向量的投影，两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．