Question

2．已知函数f（x）=|x²-1|+x²+ax．
（1）若a=2，求函数f（x）的零点；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为9，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）去掉绝对值，由f（x）=0，解方程可得零点；
（2）将f（x）写成分段函数，讨论a=0，当0＜a≤4时，a＞4，a＜-4，当-4≤a＜0时，结合对称轴和区间的关系，可得函数的单调性；
（3）由题意结合（2），讨论a=0，当0＜a≤4时，当a＞4时，当a＜-4时，a≤-8，-4＜a＜0时，运用单调性可得最大值，解方程可得a的值．

解答 解：（1）f（x）=|x²-1|+x²+2x，
当x≥1或x≤-1时，f（x）=2x²+2x-1，
由f（x）=0，解得x=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$（$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$舍去），
当-1＜x＜1时，f（x）=1-x²+x²+2x=1+2x，
由f（x）=0，可得x=-$\frac{1}{2}$；
综上可得，f（x）的零点为-$\frac{1}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{2}+ax-1，x≥1或x≤-1}\\{1+ax，-1＜x＜1}\end{array}\right.$，
当a=0时，f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）递增；
x≥1或x≤-1时，f（x）=2x²+ax-1的对称轴为x=-$\frac{a}{4}$，
当a＜-4时，f（x）在（-1，1）递减，（-∞，-1）递减，
在（1，-$\frac{a}{4}$）递减，（-$\frac{a}{4}$，+∞）递增；
当-4≤a＜0时，f（x）在（-1，1）递减，（-∞，-1）递减，在（1，+∞）递增；
当0＜a≤4时，f（x）在（-1，1）递增，（-∞，-1）递减，在（1，+∞）递增；
当a＞4时，f（x）在（-1，1）递增，在（1，+∞）递增，
（-∞，-$\frac{a}{4}$）递减，在（-$\frac{a}{4}$，-1）递增；
（3）函数f（x）在区间[0，2]上的最大值为9，
当a=0时，f（x）在[0，1）为1，在（1，2）递增，即有f（2）=7，不成立；
当0＜a≤4时，f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递增，即有f（2）=7+2a=9，解得a=1；
当a＞4时，f（x）在（0，1）递增，在（1，2）递增，即有f（2）=7+2a=9，解得a=1，不成立；
当a＜-4时，f（x）在（0，1）递减，在（1，-$\frac{a}{4}$）递减，（-$\frac{a}{4}$，+∞）递增；
若a≤-8，即有-$\frac{a}{4}$≥2，即有f（0）取得最大值，且为1；若-8＜a＜-4时，
即有f（2）取得最大值，且为7+2a=9，解得a=1不成立；
当-4≤a＜0时，f（x）在（0，1）递减，在（1，2）递增，且f（0）=1，f（2）=7+2a，
若f（2）=9，解得a=1不成立．
综上可得，a=1．

点评 本题考查含绝对值函数的零点和单调性及最值的求法，注意运用绝对值的意义和分类讨论的思想方法，以及二次函数的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．