Question

关于平面向量

a

、

b

、

c

，有下列三个命题：
①若

a

•

b

=

a

•

c

，则

b

=

c

②若

a

=（1，k），

b

=（-2，6），

a

∥

b

，则k=-3
③非零向量

a

和

b

满足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，则

a

与

a

+

b

的夹角为60°．
④若

a

=（λ，-2），

b

=（-3，5），且

a

与

b

的夹角是钝角，则λ的取值范围是λ∈（-

10

3

，+∞）
其中正确命题的序号为

 

．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：平面向量及应用

分析：①，利用向量的运算性质，可得

a

⊥（

b

-

c

），从而可判断①；
②，利用向量共线的坐标运算可求得k=-3，可判断②；
③，设非零向量

a

和

b

的夹角为θ，依题意，可求得θ=60°，而

a

+

b

的方向与

a

、

b

的角平分线位于同一直线上，则

a

与

a

+

b

的夹角为30°，可判断③；
④，依题意，知-3λ-10＜0且-3λ-10≠-1，求得λ的取值范围是λ∈（-

10

3

，-3）∪（-3，+∞），可判断④．

解答： 解：对于①，若

a

•

b

=

a

•

c

，则

a

•（

b

-

c

）=0，即

a

⊥（

b

-

c

），故①错误；
对于②，若

a

=（1，k），

b

=（-2，6），

a

∥

b

，则1×6-k×（-2）=0，解得k=-3，故②正确；
对于③，设非零向量

a

和

b

的夹角为θ，
则丨

a

-

b

丨²=

a

²+

b

²-2|

a

||

b

|cosθ，
由于|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，可得cosθ=

1

2

，故θ=60°

a

+

b

的方向与

a

、

b

的角平分线位于同一直线上，
则

a

与

a

+

b

的夹角为30°，故③错误；
对于④，若

a

=（λ，-2），

b

=（-3，5），且

a

与

b

的夹角是钝角，则-3λ-10＜0且-3λ-10≠-1，
解得：λ的取值范围是λ∈（-

10

3

，-3）∪（-3，+∞），故④错误．
故答案为：②．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积及平面向量的加减运算，考查分析、运算及求解能力，属于中档题．