Question

5．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间[-1，a]（a∈R）上的值域．

Answer 1

分析 （1）令x＜0，则-x＞0，由x＞0时，f（x）=x²-2x，可求得f（-x），而f（x）为定义在R上的奇函数，从而可求得x＜0时的解析式，最后用分段函数表示函数f（x）的解析式即可．
（2）根据函数的解析式，先画出图象，然后对a（要考虑函数的解析式及单调性）进行分类讨论即可求出函数的值域

解答 解：（1）令x＜0，则-x＞0，
∵x＞0时，f（x）=x²-2x，
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）=x²+2x，
又f（x）为定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x）=-x²-2x．
当x=0时，f（x）=x²-2x=0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x}^{2}-2x，x≤0\\{x}^{2}-2x，x＞0\end{array}\right.$．
（2）f（x）的图象的图象如下图所示：
f（-1）=1，由 f（x）=1，x＞0得x=1+$\sqrt{2}$．
①当-1＜a≤1时，函数在[-1，a]单调递减，值域为[f（a），1]．
又x＞0，f（x）=x²-2x，x＜0，f（x）=-x²-2x．
则-1＜a≤0时，值域为[-a²-2a，1]，0＜a≤1时，值域为[a²-2a，1]．
②当1＜a≤1+$\sqrt{2}$时，函数在[-1，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增．
最小值在x=1处取得，最大值在x=-1处取得，此时值域为[-1，1]．
③当a＞1+$\sqrt{2}$时，函数在[-1，1]上单调递减，在[1，a]是单调递增．
最大值在x=1处取得，最小值在x=a处取得．
此时函数的值域为[-1，a²-2a]．
综上所述：当-1＜a≤0时，值域为[-a²-2a，1]；
          当0＜a≤1时，值域为[a²-2a，1]；
          当1＜a≤1+$\sqrt{2}$时，值域为[-1，1]；
          当a＞1+$\sqrt{2}$时，函数的值域为[-1，a²-2a]．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，熟练掌握函数奇偶性的定义和性质，是解答的关键．