Question

已知命题P：方程

x2

k-3

+

y2

2

=1表示焦点在x轴的椭圆，命题Q：向量

m

=(-1，2，3)与向量

n

=(k，1，-

1

2

)，的夹角为锐角，若P或Q为真，P且Q为假，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：若P或Q为真，P且Q为假，可得命题P与命题Q一真一假，分别讨论实数m的取值范围，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：∵命题P：方程

x2

k-3

+

y2

2

=1表示焦点在x轴的椭圆，
∴k-3＞2，则k＞5，
∵命题Q：向量

m

=(-1，2，3)与向量

n

=(k，1，-

1

2

)，的夹角为锐角，
∴

m

•

n

＜0，
∴-k+2-

3

2

＜0，
解得k＜

1

2

，
因为P或Q为真，P且Q为假，
∴P或Q一真一假，
当P真Q假，k＞5，
当P假Q真，k＜

1

2

，
故实数k的取值范围k＞5或k＜

1

2

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假，椭圆的标准方程和二次方程根的个数判断，难度不大，是基础题．