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【题目】如图,在四棱锥中,中点,侧棱,底面为直角梯形,其中平面分别是线段上的动点,且.

1)求证:平面

2)当三棱锥的体积取最大值时,求到平面的距离;

3)在(2)的条件下求与平面所成角.

【答案】1)证明见解析;(2;(3.

【解析】

1)证明即可;

2)根据体积最值关系求出分别为的中点,建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,利用公式求距离;

3)结合第(2)问的法向量利用公式即可求出线面角.

1)在中,中点,侧棱,所以

又因为平面平面,所以

是平面内两条相交直线,

所以平面

2,即

,所以是等腰直角三角形,

平面平面,所以

连接

,则,由(1平面

所以是点到平面的距离,

所以三棱锥的体积

,当时,取得最大值

此时分别为的中点,

,所以四边形是平行四边形,

所以四边形是正方形,

为原点,方向为轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示:

设平面的法向量,则

,则

所以点到平面的距离

3)设与平面所成角为

与平面所成角为.

练习册系列答案
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【题目】某网络营销部门为了统计某市网友某日在某淘宝店的网购情况,随机抽查了该市当天名网友的网购金额情况,得到如下统计表(如图).

网购金额(单位:千元)

频数

频率

3

0.05

9

0.15

15

0.25

18

0.30

若网购金额超过千元的顾客定义为网购达人,网购金额不超过千元的顾客定义为非网购达人,已知非网购达人网购达人人数比恰好为

(Ⅰ)试确定的值,并补全频率分布直方图(如图);

(Ⅱ)该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验,从非网购达人网购达人中用分层抽样的方法抽取人,若需从这人中随机选取人进行问卷调查.设为选取的人中网购达人的人数,求的分布列及其数学期望.

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方案二:交纳延保金元,在延保的两年内可免费维修次,超过次每次收取维修费元.

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维修次数

0

1

2

3

机器台数

20

10

40

30

以上台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率,记表示这两台机器超过质保期后延保两年内共需维修的次数.

的分布列;

以所需延保金与维修费用之和的期望值为决策依据,该工厂选择哪种延保方案更合算?

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1时,求不等式的解集;

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A. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变

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【题目】某部门经统计,客户对不同款型理财产品的最满意程度百分比和对应的理财总销售量(万元)如下表(最满意度百分比超高时总销售量最高):

产品款型

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

最满意度%

20

34

25

19

26

20

19

24

19

13

总销量(万元)

80

89

89

78

75

71

65

62

60

52

表示理财产品最满意度的百分比,为该理财产品的总销售量(万元).这些数据的散点图如图所示.

(1)在款型理财产品的顾客满意度调查资料中任取份;只有一份最满意的,求含有最满意客户资料事件的概率.

(2)我们约定:相关系数的绝对值在以下是无线性相关,在以上(含)至是一般线性相关,在以上(含)是较强线性相关,若没有达到较强线性相关则采取“末位”剔除制度(即总销售量最少的那一款产品退出理财销售);试求在剔除“末位”款型后的线性回归方程(系数精确到).

数据参考计算值:

项目

21.9

72.1

288.9

37.16

452.1

17.00

附:回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:

线性相关系数 .

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【题目】如图,已知四棱锥是梯形,

)证明:平面平面

)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

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