Question

设f（x）=

3

sinx-cosx
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，若f（A）=1，且2sinB=3sinC，b=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（x-

π

6

），令2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围，即可求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）在△ABC中，由f（A）=1求得 A=

π

3

．由2sinB=3sinC利用正弦定理可得 2b=3c，再由b=3，求得 c=2，从而求得△ABC的面积S=

1

2

•bc•sinA 的值．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

sinx-cosx=2sin（x-

π

6

），
令2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
可得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（2）在△ABC中，若f（A）=1，则有 2sin（A-

π

6

）=1，
∴A-

π

6

=

π

6

，A=

π

3

．
由2sinB=3sinC利用正弦定理可得 2b=3c，再由b=3 可得c=2，
∴△ABC的面积S=

1

2

•bc•sinA=

3 3

2

．

点评：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，余弦定理的应用，属于中档题．