【题目】已知a为常数,函数f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点x1 , x2(x1<x2)( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】解:∵f′(x)=lnx+1﹣2ax,(x>0)
令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1 , x2函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0.
.
①当a≤0时,g′(x)>0,f′(x)单调递增,因此g(x)=f′(x)至多有一个零点,不符合题意,应舍去.
②当a>0时,令g′(x)=0,解得x= ,
∵x ,g′(x)>0,函数g(x)单调递增; 时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.
∴x= 是函数g(x)的极大值点,则 >0,即 >0,
∴ln(2a)<0,∴0<2a<1,即 .
故当0<a< 时,g(x)=0有两个根x1 , x2 , 且x1< <x2 , 又g(1)=1﹣2a>0,
∴x1<1< <x2 , 从而可知函数f(x)在区间(0,x1)上递减,在区间(x1 , x2)上递增,在区间(x2 , +∞)上递减.
∴f(x1)<f(1)=﹣a<0,f(x2)>f(1)=﹣a>﹣ .
故选:D.
先求出f′(x),令f′(x)=0,由题意可得lnx=2ax﹣1有两个解x1 , x2函数g(x)=lnx+1﹣2ax有且只有两个零点g′(x)在(0,+∞)上的唯一的极值不等于0.利用导数与函数极值的关系即可得出.
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【题目】如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA= ,cosC=
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
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【题目】为了实现绿色发展,避免能源浪费,某市计划对居民用电实行阶梯收费.阶梯电价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用电量为基准定价,具体划分标准如表:
阶梯级别 | 第一阶梯电量 | 第二阶梯电量 | 第三阶梯电量 |
月用电量范围(单位:) |
从本市随机抽取了100户,统计了今年6月份的用电量,这100户中用电量为第一阶梯的有20户,第二阶梯的有60户,第三阶梯的有20户.
(1)现从这100户中任意选取2户,求至少1户用电量为第二阶梯的概率;
(2)以这100户作为样本估计全市居民的用电情况,从全市随机抽取3户,表示用电量为第二阶梯的户数,求的概率分布列和数学期望.
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【题目】函数(其中,,)的图象如图所示,为了得到的图象,只需把的图象上所有的点()
A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
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【题目】某电影院共有个座位,某天,这家电影院上、下午各演一场电影.看电影的是甲、乙、丙三所中学的学生,三所学校的观影人数分别是985人,1010人,2019人(同一所学校的学生既可看上午场,又可看下午场,但每人只能看一场).已知无论如何排座位,这天观影时总存在这样的一个座位,上、下午在这个座位上坐的是同一所学校的学生,那么的可能取值有__________个.
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