Question

19．若f（x）=2x²-lnx在定义域的子区间（a-1，a+1）上有极值，则实数a的取值范围是[1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 求f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）；从而可得极值点在（a-1，a+1）；求解即可．

解答 解：f（x）=2x²-lnx的定义域为（0，+∞），
f′（x）=4x-$\frac{1}{x}$=$\frac{4{x}^{2}-1}{x}$；
∵f（x）=2x²-lnx在定义域的子区间（a-1，a+1）上有极值，
∴f′（x）=$\frac{4{x}^{2}-1}{x}$在区间（a-1，a+1）上有零点，
而$\frac{4{x}^{2}-1}{x}=0$，可得导函数的零点为$\frac{1}{2}$；
故$\frac{1}{2}$∈（a-1，a+1）；
故a-1＜$\frac{1}{2}$＜a+1；
解得：-$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{3}{2}$；
又∵a-1≥0，
∴a≥1；
故答案为：[1，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点的应用，属于中档题．