Question

【题目】设函数f（x）= x2+alnx（a＜0）．
（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为 ，求实数a的值；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）= x2+alnx的导数为f′（x）=x+ ，

由函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为 ，

可得2+ = ，解得a=﹣3；

（2）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），

f′（x）= ，

当a＜0时，f′（x）= ，

当0＜x＜ 时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；

当x＞ 时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增．

综上，当a＜0时，f（x）的增区间是（ ，+∞），减区间是（0， ）；

（3）解：令F（x）=f（x）﹣g（x）= x2+alnx﹣x2+（1﹣a）x

=﹣ x2+（1﹣a）x+alnx，x＞0，

问题等价于求函数F（x）的零点个数．

当a≤﹣1时，F′（x）=﹣x+1﹣a+ =﹣ ，

由a=﹣1时，F′（x）≤0，F（x）递减，

由F（3）=﹣ +6﹣ln3= ﹣ln3＞0，F（4）=﹣8+8﹣ln4＜0，

由零点存在定理可得F（x）在（3，4）内存在一个零点；

当a＜﹣1时，即﹣a＞1时，F（x）在（0，1）递减，（1，﹣a）递增，（﹣a，+∞）递减，

由极小值F（1）=﹣ +（1﹣a）+aln1= ﹣a＞0，

极大值F（﹣a）=﹣ a2+a2﹣a+aln（﹣a）= a2﹣a+aln（﹣a）＞0，

由x→+∞时，F（x）→﹣∞，

可得F（x）存在一个零点．

综上可得，当a≤﹣1时，f（x）与g（x）图象交点的个数为1．

【解析】（1）求出f（x）的导数，由题意可得切线的斜率，即有a的方程，解方程可得a的值；（2）求出函数的导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x），问题转化为求函数F（x）的零点个数，通过讨论a的范围，求出函数F（x）的单调性，从而判断函数F（x）的零点个数即f（x），g（x）的交点即可
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．