Question

16．已知函数$f（x）={x}^{2}+2xsinθ-1，x∈[-\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}]$．
（1）若$θ=\frac{π}{6}$，若f（x）＜m恒成立，求实数m的范围；
（2）若f（x）在x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调函数，且θ∈[0，2π），求θ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）θ=$\frac{π}{6}$时，f（x）=x²+x-1，f′（x）=2x+1，由此利用导数性质能求出函数的最值．
（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的图象的对称轴为x=-sinθ，由于f（x）在x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调增函数，得-sinθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由此能求出θ的取值范围

解答 解：（1）∵θ=$\frac{π}{6}$，函数f（x）=x2+2xsinθ-1，x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]．
∴f（x）=x²+x-1，f′（x）=2x+1，
由f′（x）=0，得x=-$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）在[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）递减，在（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]递增，
∴f（x）_最大值=f（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），或f（$\frac{1}{2}$），
f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$-1=-$\frac{1}{4}$＜f（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{3}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$-1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{4}$
∴x=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，f（x）的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{4}$，
∴m＞$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{1}{4}$；
（2）f（x）=x²+2xsinθ-1的图象的对称轴为x=-sinθ，
θ∈[0，2π），-sinθ＜0，
由于f（x）在x∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$]上是单调函数，
所以-sinθ≤-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即sinθ≥$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又∵θ∈[0，2π）
所求θ的取值范围是[$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]．

点评 本题考查函数的最值的求法，考查角的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质和三角函数知识的合理运用．