分析 (1)可设圆心坐标为C(2a,a),利用圆C与直线x+2y+1=0切于点(1,-1),求出a,即可求圆C的方程;
(2)利用圆心到直线l:x+y+2=0的距离与半径的关系,判断直线l:x+y+2=0和圆C的位置关系;
(3)求出点B关于直线x+y+2=0的对称点,将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题,根据圆的几何条件,圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径.
解答 解:(1)因为圆心在直线$y=\frac{1}{2}x$上,可设圆心坐标为C(2a,a),
又圆C与直线x+2y+1=0切于点(1,-1),
∴$\frac{a+1}{2a-1}×({-\frac{1}{2}})=-1$,
∴a=1,圆心坐标为C(2,1),$r=\sqrt{5}$,
∴圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.…(5分)
(2)圆心到直线l:x+y+2=0的距离是$d=\frac{2+1+2}{{\sqrt{2}}}=\frac{5}{{\sqrt{2}}}>r$,
∴直线l与圆相离.…(9分)
(3)∵直线l:x+y+2=0到原点的距离$d=\frac{5}{{\sqrt{2}}}>r$,∴直线与圆相离.
点B(-4,-2),则PB+PQ≥BC-r,B到圆上点的最短距离为$BC-r=\sqrt{{{({-6})}^2}+{{({-3})}^2}}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}$.
∴PB+PQ最小值为$2\sqrt{5}$,直线BC的方程为$y=\frac{1}{2}x$,
∴直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为$({-\frac{4}{3},-\frac{2}{3}})$.…(15分)
点评 本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查对称性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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