Question

设函数f（x）的定义域为D，令M={k|f（x）≤k恒成立，x∈D}，N={k|f（x）≥k恒成立，x∈D}，已知f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2+a，其中x∈[0，2]，若4∈M，2∈N，则a的范围是

[

13

6

，

10

3

]

．

Answer 1

分析：由题意，x∈[0，2]时，2-a≤

1

3

x3-

1

2

x2≤4-a，确定g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2的最值，即可求得a的范围．

解答：解：由题意，x∈[0，2]时，2≤

1

3

x3-

1

2

x2+a≤4，∴2-a≤

1

3

x3-

1

2

x2≤4-a
令g(x)=

1

3

x3-

1

2

x2，则g′（x）=x²-x=x（x-1）
∵x∈[0，2]，∴函数在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增
∴x=1时，g（x）_min=-

1

6

∵g（0）=0，g（2）=

2

3

∴g（x）_max=

2

3

∴2-a≤-

1

6

且4-a≥

2

3

∴

13

6

≤a≤

10

3

故答案为：[

13

6

，

10

3

]

点评：本题考查新定义，考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．