Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+b（a、b为常数）满足f（0）=f（1），方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，4]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由f（0）=f（1），且f（x）=x有两个相等的实数根，求出a、b的值，从而得f（x）的解析式；
（2）由（1）中函数的解析式，求出函数的单调性，进而可求出f（x）在x∈[0，4]时的最值，即得值域．

解答： 解：（1）∵二次函数f（x）=x²+ax+b（a，b为常数）满足f（0）=f（1），
∴二次函数f（x）=x²+ax+b的图象关于直线x=

1

2

对称，
故-

a

2

=

1

2

，解得：a=-1，
又∵方程f（x）=x有两个相等的实数根．
即x²-2x+b=0有两个相等的实数根．
即△=4-4b=0，
解得：b=1，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）∵函数f（x）=x²-x+1的图象是开口朝上，且以直线x=

1

2

为对称轴的抛物线，
故函数f（x）在[0，

1

2

]上为减函数，在[

1

2

，4]上为增函数，
故当x=

1

2

时，函数f（x）取最小值

3

4

，当x=4时，函数f（x）取最大值13，
故当x∈[0，4]时，函数f（x）的值域为[

3

4

，13]．

点评：本题考查了求函数的解析式以及利用函数的图象与性质求最值，从而得值域的问题，是基础题．