Question

（I）若不等式|2x-a|+a≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值；
（II）若不等式|2a+b|+|2a-b|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

解：（I） 由|2x-a|+a≤6得|2x-a|≤6-a，
∴a-6≤2x-a≤6-a，解得a-3≤x≤3，
由题意可得 a-3=-2，即a=1．（5分）
（II）由绝对值不等式的性质可得|2a+b|+|2a-b|≥|2a+b+2a-b|=|4a|，
∴|4a|≥|a|（|2+x|+|2-x|）．
当a=0时，上式恒成立，故x∈R．
当a≠0时，消去|a|有4≥|2+x|+|2-x|．
又∵|2+x|+|2-x|≥|2+x+2-x|=4，
∴|2+x|+|2-x|=4，∴-2≤x≤2．
当a=0时，解集为R；当a≠0时，解集为{x|-2≤x≤2}． （10分）
分析：（I） 由题意可得 得|2x-a|≤6-a，故a-3≤x≤3，再结合解集为{x|-2≤x≤3}可得 a-3=-2，由此求得a的值．
（II）由题意可得|4a|≥|a|（|2+x|+|2-x|）恒成立．显然a=0满足条件，a≠0时，有4≥|2+x|+|2-x|．再由|2+x|+|2-x|≥|2+x+2-x|=4，可得|2+x|+|2-x|=4，从而得到实数x的取值范围．
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的性质和解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．