Question

已知函数f(x)=

1

2

4-x2

．
（Ⅰ）写出函数f（x）的定义域，并求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设过曲线y=f（x）上的点P的切线l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最小值，并求此时点P的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据负数没有平方根即被开方数大于等于0，列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范围即为函数的定义域，然后求出f（x）的导函数，令导函数大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范围即为函数的增区间；令导函数小于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围即为函数的减区间；
（Ⅱ）设出切点P的坐标，把横坐标代入到f（x）的导函数中求出对应的导函数值即为切线的斜率，根据设出的P的坐标和求出的斜率写出切线l的方程，然后分别令x=0和y=0求出切线l与y轴和x轴的交点坐标，根据与坐标轴的截距表示出三角形AOB的面积，化简后利用基本不等式即可求出面积的最小值和此时P的坐标．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是[-2，2]．
函数f（x）的导函数是f′(x)=

-x

2 4-x2

．
令f'（x）＞0，即

-x

2 4-x2

＞0，解得-2＜x＜0，所以函数f（x）的递增区间是（-2，0）；
令f'（x）＜0，即

-x

2 4-x2

＜0，解得0＜x＜2，所以函数f（x）的递减区间是（0，2）．
（Ⅱ）设P(x0，  

1

2

4-x02

)，则切线的斜率k=f′(x0)=

-x0

2 4-x02

，
则切线l的方程是y-

1

2

4-x02

=

-x0

2 4-x02

(x-x0)，
设切线l与x轴、y轴的交点为A、B，
令y=0，由题意可知x₀≠0，解得x=

4

x0

，所以A(

4

x0

，0)；
令x=0，解得y=

2

4-x02

，所以B(0，

2

4- x 2 0

)，
所以S△ABO=

1

2

|x||y|=

1

2

|

4

x0

|

2

4-x02

=

4

x02(4-x02)

≥

4

x02+4-x02 2

=2，
当且仅当x₀²=4-x₀²，即x0=±

2

时，△ABO面积的最小值为2．
此时，点P的坐标是(±

2

，  

2

2

)．

点评：此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，会利用基本不等式求函数的最值并掌握最值的几何意义，会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，是一道多知识的综合题．