Question

2．求椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1到点A（1，0）的距离为最小的点P的坐标．

Answer 1

分析 可设出P（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），求出|PA|，化简整理成关于cosα的式子，并配方，再由余弦函数的值域，结合二次函数的顶点，即可得到最值．

解答 解：由于P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上一动点，
可设P（2cosα，sinα），（0≤α＜2π），
则|PA|=$\sqrt{（2cosα-1）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{4co{s}^{2}α+si{n}^{2}α-4cosα+1}$
=$\sqrt{3co{s}^{2}α-4cosα+2}$
=$\sqrt{3（cosα-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$，
由于cosα∈[-1，1]，
则当cosα=$\frac{2}{3}$∈[-1，1]，此时sinα=±$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
即P（$\frac{4}{3}$，-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）或（$\frac{4}{3}$，-$\frac{\sqrt{5}}{3}$）时，
|PA|取最小值，且为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程，主要是运用参数方程解题，考查三角函数的化简和正弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．