Question

18．已知实数x，y分别满足：（x-3）³+2016（x-3）=a，（2y-3）³+2016（2y-3）=-a，则x²+4y²+4x的最小值是（　　）

• A． 0
• B． 26
• C． 28
• D． 30

Answer 1

分析 构造函数f（x）=x³+2016x，判断函数的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性的性质建立方程关系，可得x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x²+4y²+4x再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：设f（x）=x³+2016x，则f（-x）=-f（x），即函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，
∵（x-3）³+2014（x-3）=a，（2y-3）³+2016（2y-3）=-a，
∴（x-3）³+2014（x-3）=-[（2y-3）³+2016（2y-3）]，
即f（x-3）=-f（2y-3），
即f（x-3）=f（3-2y），
∵f（x）=x³+2016x为增函数，
∴x-3=3-2y，
即x+2y-6=0，把2y=6-x代入z=x²+4y²+4x得到
z=x²+（6-x）²+4x=2x²-8x+36=2（x-2）²+28≥28，
当且仅当x=2，y=2时取得最小值．
故选：C．

点评 本题考查了函数奇偶性和二次函数的单调性的应用，根据条件构造函数f（x）=x³+2016x，判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．