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18.已知实数x,y分别满足:(x-3)3+2016(x-3)=a,(2y-3)3+2016(2y-3)=-a,则x2+4y2+4x的最小值是(  )
A.0B.26C.28D.30

分析 构造函数f(x)=x3+2016x,判断函数的奇偶性和单调性,利用函数奇偶性的性质建立方程关系,可得x+2y-6=0,把2y=6-x代入z=x2+4y2+4x再利用二次函数的单调性即可得出.

解答 解:设f(x)=x3+2016x,则f(-x)=-f(x),即函数f(x)是奇函数,且函数为增函数,
∵(x-3)3+2014(x-3)=a,(2y-3)3+2016(2y-3)=-a,
∴(x-3)3+2014(x-3)=-[(2y-3)3+2016(2y-3)],
即f(x-3)=-f(2y-3),
即f(x-3)=f(3-2y),
∵f(x)=x3+2016x为增函数,
∴x-3=3-2y,
即x+2y-6=0,把2y=6-x代入z=x2+4y2+4x得到
z=x2+(6-x)2+4x=2x2-8x+36=2(x-2)2+28≥28,
当且仅当x=2,y=2时取得最小值.
故选:C.

点评 本题考查了函数奇偶性和二次函数的单调性的应用,根据条件构造函数f(x)=x3+2016x,判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键.

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