Question

16．已知函数f（x）=|x+a|+|x-2|．
（1）当a=-4时，求不等式f（x）≥6的解集；
（2）若f（x）≤|x-3|的解集包含[0，1]，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义，求得不等式的解集．
（2）（2）原命题等价于f（x）≤|x-3|在[0，1]上恒成立，即-1-x≤a≤1-x在[0，1]上恒成立，由此求得a的范围．

解答 解：（1）当a=-4时，求不等式f（x）≥6，即|x-4|+|x-2|≥6，
而|x-4|+|x-2|表示数轴上的x对应点到4、2对应点的距离之和，
而0和6对应点到4、2对应点的距离之和正好等于6，故|x-4|+|x-2|≥6的解集为{x|x≤0，或x≥6}．
（2）原命题等价于f（x）≤|x-3|在[0，1]上恒成立，即|x+a|+2-x≤3-x在[0，1]上恒成立，
即-1≤x+a≤1，即-1-x≤a≤1-x在[0，1]上恒成立，即-1≤a≤0．

点评 本题主要考查绝对值的意义，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．