Question

18、在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是AB和BC的中点，试问在棱DD₁上能否找到一点M，使BM⊥平面B₁EF？若能，确定点M的位置；若不能，说明理由

Answer 1

分析：B作BG⊥B₁E交AA₁于G，过G作GM∥AD交DD₁于M，连BM，欲证BM⊥平面B₁EF，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BM与平面B₁EF内两相交直线垂直，EF⊥BM，BM⊥B₁E，EF∩B₁E=E，满足定理要求．

解答：解：作法：①B作BG⊥B₁E交AA₁于G；
②过G作GM∥AD交DD₁于M；
③连BM，则BM即为所求作
证明：连BD正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F为AB和BC的中点
∴BD⊥AC，又DD₁⊥面ABCD∴EF⊥BM
又∵GM∥AD∴GM⊥面ABB₁A₁而BG⊥B₁E∴BM⊥B₁E
又EF∩B₁E=E∴BM⊥平面B₁EF

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．