Question

设二次函数f（x）=ax²+bx+c在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）=x}
（1）若A={1，2}，f（0）=2，求M+m的值
（2）若A={1}，a≥1，记g（a）=M+m，若g(a)=

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，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由f（0）的值和集合A的元素为1，2得到关于a、b、c的三个方程，联立后求出a、b、c的值，然后运用二次函数的单调性求其在区间[-2，2]上的最大值、最小值；
（2）根据集合A只有一个元素1，说明方程f（x）=x有两个相等的实数根，运用根与系数关系把b和c用a表示，再利用二次函数的单调性求出函数f（x）的最值，则g（a）=M+m可求，直接代入g(a)=

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求a的值．

解答：解：（1）由f（0）=2可知c=2，
又A={1，2}，故1，2是方程ax²+（b-1）x+c=0的两实根．
∴

3=- b-1 a 2= 2 a

，解得a=1，b=-2．
∴f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
因为x∈[-2，2]，根据函数图象可知，
当x=1时，f（x）_min=f（1）=1，即m=1；
当x=-2时，f（x）_max=f（-2）=10，即M=10．
所以M+m=11．
（2）由题意知，方程ax²+（b-1）x+c=0有两相等实根x₁=x₂=1，
根据韦达定理得到：

2=- b-1 a 1= c a

，得：a=c，b=-2a+1．
∴f（x）=ax²+bx+c=ax²+（1-2a）x+a，x∈[-2，2]
其对称轴方程为x=1-

1

2a

又a≥1，故

1

2

≤1-

1

2a

＜1
∴M=f(-2)=9a-2，   m=

4a-1

4a

 
则g（a）=M+m=9a-

1

4a

-1
g（a）在区间[1，+∞）上为单调递增的，由9a-

1

4a

-1=

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，得a=2．

点评：本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了函数的单调性和单调区间，考查了方程思想，训练了学生的运算能力，此题属中档题．