Question

17．已知数列{a_n}满足${a_1}=\frac{1}{5}$，且当n＞1，n∈N*时，有$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+1}}{{1-2{a_n}}}$，
（1）求证：数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列；
（2）试问a₁•a₂是否是数列{a_n}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推关系，利用构造法结合等差数列即可证明数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列；
（2）先求出数列的通项公式以及a₁•a₂的值，然后进行判断即可．

解答 （1）证明：∵当n＞1，n∈N*时，$\frac{{{a_{n-1}}}}{a_n}=\frac{{2{a_{n-1}}+1}}{{1-2{a_n}}}$，
∴a_n-1-2a_na_n-1=2a_na_n-1+a_n，
又∵a_n≠0，
∴$\frac{1}{a_n}-\frac{1}{{{a_{n-1}}}}=4$，∴数列$\{\frac{1}{a_n}\}$为等差数列；
（2）∵${a_1}=\frac{1}{5}$，∴${a_2}=\frac{1}{9}$，
∴$\frac{1}{a_n}=5+4（n-1）=4n+1$，∴${a_n}=\frac{1}{4n+1}$，
又∵${a_1}{a_2}=\frac{1}{45}$，若$\frac{1}{45}=\frac{1}{4n+1}$，得n=11，
∴a₁a₂是数列{a_n}的 第11项．

点评 本题主要考查数列递推公式的应用，利用构造法以及等差数列的定义是解决本题的关键．