Question

设函数,给出下列四个命题：
①当时，函数是单调函数
②当时，方程只有一个实根
③函数的图象关于点对称
④方程至多有3 个实根，其中正确命题的个数为

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

D

试题分析：因为f（x）=x|x|+bx+c=，对于①当x≥0时，f'（x）=2x+b≥0，所以y=f（x）递增，当x＜0时，f'（x）＞0，所以y=f（x）递增又y=f（0）=c连续．故当b≥0时，函数y=f（x）是单调函数； ①对．
对于②因为f（x）=当x≥0时无根，当x＜0时，有一根x=-．故当b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实根；②对．
对于③设g（x）=x|x|+bx，因为g（-x）=-x|-x|+b（-x）=-g（x），所以g（x）=x|x|+bx关于（0，0）对称，又函数y=f（x）的图象可以由g（x）=x|x|+bx的图象上下平移c个单位得到．故函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；故③对．
对于④分各种情况来讨论b，c，并求出对应方程的根，就可说明④成立．故④对．
故选 D．
点评：解决该试题的关键是通常带绝对值的函数研究其性质时，要去掉其绝对值符号进行.①去掉其绝对值符号，判断出其在每一段内都单调且连续即可．
②把b=0，c＞0代入，去掉其绝对值符号，解对应方程即可得结论．
③利用g（x）=x|x|+bx关于（0，0）对称，和g（x）=x|x|+bx与y=f（x）的关系可得结论．
④对于b，c分各种情况来讨论，并求出对应方程的根，可下结论