Question

6．设奇函数f（x）在（-∞，0）上为减函数，且f（2）=0，则$\frac{{f（x）-3f（{-x}）}}{2x}＞0$的解集为（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-∞，-2）∪（0，2）
• C． （-∞．-2）∪（2．+∞）
• D． （-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析 奇函数f（x）在（-∞，0）内是减函数，则f（x）在（0，+∞）内是减函数．且f（-2）=f（2）=0，不等式$\frac{{f（x）-3f（{-x}）}}{2x}＞0$等价为x•f（x）＞0，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞f（2）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜f（-2）}\end{array}\right.$，解出它们，再求并集即可．

解答 解：奇函数f（x）在（-∞，0）内是减函数，则f（x）在（0，+∞）内是减函数．且f（-2）=f（2）=0，
不等式$\frac{{f（x）-3f（{-x}）}}{2x}＞0$等价为x•f（x）＞0，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞f（2）}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜f（-2）}\end{array}\right.$，
即有0＜x＜2或-2＜x＜0．
则解集为（-2，0）∪（0，2）．
故选：D．

点评 本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，解不等式，注意讨论x的范围，属于中档题．