Question

16．曲线y=lnx+x-1上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $2\sqrt{5}$
• C． $3\sqrt{5}$
• D． 0

Answer 1

分析 设与曲线y=lnx+x-1上相切且与直线2x-y+3=0平行的直线方程为2x-y+m=0，切点P（x₀，y₀）．利用导数的几何意义可得切点，再利用点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：设与曲线y=lnx+x-1上相切且与直线2x-y+3=0平行的直线方程为2x-y+m=0，切点P（x₀，y₀）．
∵y′=$\frac{1}{x}$+1，∴$\frac{1}{{x}_{0}}+1$=2，解得x₀=1，可得切点P（1，0）．
点P到直线2x-y+3=0的距离d=$\frac{|2-0+3|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$．
∴曲线y=lnx+x-1上的点到直线2x-y+3=0的最短距离是$\sqrt{5}$．
故选：A．

点评 本题考查了导数的几何意义、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．