Question

【题目】设函数，.

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）①若，试讨论的单调性；

②若有两个不同的零点，求的取值范围，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①在单调递减；②，理由见解析.

【解析】

（1）由得出，令，利用导数求出函数的最大值，进而可得出实数的取值范围；

（2）①将代入函数的解析式，利用导数可求得函数的单调区间；

②由参变量分离法得出，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，进而可求得实数的取值范围.

（1），，则，

令，则，令，得.

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

，则，

因此，实数的取值范围是；

（2）①当时，，则，

令，则，

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

，恒成立，即恒成立，

因此，函数在上单调递减；

②由，得，得，

令，其中，则，

令，，

当时，，此时函数单调递增；

当时，，此时函数单调递减.

，，当，，

当时，，则；

当时，，则.

所以，函数在区间上单调递增，在区间单调递减，则，且当时，，

所以，.