Question

9．（1）设全集U={不大于20的质数}，且A∩（∁_UB）={3，5}，（∁_UA）∩B={7，11}，（∁_UA）∩（∁_UB）={2，17}，请绘制韦恩图求出集合A，B；
（2）利用（1）题中的韦恩图解决下面问题：
向50名学生调查对A，B两观点的态度，结果如下：赞成观点A的人数是全体的$\frac{3}{5}$，其余的不赞成；赞成观点B的比赞成观点A的多3人，其余的不赞成；另外，对观点A，B都不赞成的学生比对观点A，B都赞成的学生的$\frac{1}{3}$多1人．问：对观点A，B都赞成的学生有多少人？

Answer 1

分析 （1）画出韦恩图，即可直接求出集合A和B．
（2）设对A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为$\frac{x}{3}$+1，赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x．依题意（30-x）+（33-x）+x+$\frac{x}{3}$+1=50，解得即可．

解答 解：（1）：∵全集U={x|x取不大于20的质数}={2，3，5，7，11，13，17，19}，

A∩（∁_UB）={3，5}，（∁_UA）∩B={7，11}，（∁_UA）∩（∁_UB）={2，17}，
∴由韦恩图可知A={3，5，11，13}，B={7，11，13，19}．
（2）赞成A的人数为50×$\frac{3}{5}$=30，赞成B的人数为30+3=33，
如图，记50名学生组成的集合为U，赞成A的学生全体为集合A，赞成B的学生全体为集合B．
设对A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为$\frac{x}{3}$+1，赞成A而不赞成B的人数为30-x，赞成B而不赞成A的人数为33-x．
依题意（30-x）+（33-x）+x+$\frac{x}{3}$+1=50，解得x=21．
故对观点A，B都赞成的学生有21人．

点评 本题考查利用集合的运算表示韦恩图中的集合、考查利用交集、补集的定义求集合的交集、补集，属于中档题．