Question

已知函数f(x)＝a^x＋x²，g(x)＝xln a，a>1.
(1)求证：函数F(x)＝f(x)－g(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)若函数y＝－3有四个零点，求b的取值范围；
(3)若对于任意的x₁，x₂∈[－1,1]时，都有|F(x₂)－F(x₁)|≤e²－2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

（1）见解析（2）(2－，0)∪(2＋，＋∞)（3）(1，e²]

(1)∵F(x)＝f(x)－g(x)＝a^x＋x²－xln a，
∴F′(x)＝a^x·ln a＋2x－ln a＝(a^x－1)ln a＋2x.
∵a>1，x>0，∴a^x－1>0，ln a>0,2x>0，
∴当x∈(0，＋∞)时，F′(x)>0，即函数F(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2)由(1)知当x∈(－∞，0)时，F′(x)<0，
∴F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
∴F(x)的最小值为F(0)＝1.由－3＝0，
得F(x)＝b－＋3或F(x)＝b－－3，
∴要使函数y＝－3有四个零点，只需
即b－>4，即 >0，
解得b>2＋或2－ <b<0.
故b的取值范围是(2－，0)∪(2＋，＋∞)．
(3)∵?x₁，x₂∈[－1,1]，由(1)知F(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴F(x)min＝F(0)＝1.
从而再来比较F(－1)与F(1)的大小即可．
F(－1)＝＋1＋ln a，F(1)＝a＋1－ln a，
∴F(1)－F(－1)＝a－－2ln a.
令H(x)＝x－－2ln x(x>0)，
则H′(x)＝1＋－＝＝ >0，
∴H(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∵a>1，∴H(a)>H(1)＝0.∴F(1)>F(－1)．
∴|F(x₂)－F(x₁)|的最大值为|F(1)－F(0)|＝a－ln a，
∴要使|F(x₂)－F(x₁)|≤e²－2恒成立，只需a－ln a≤e²－2即可．令h(a)＝a－ln a(a>1)，h′(a)＝1－ >0，∴h(a)在(1，＋∞)上单调递增．∵h(e²)＝e²－2，∴只需h(a)≤h(e²)，即1<a≤e².故a的取值范围是(1，e²]