Question

定义：已知函数f（x）与g（x），若存在一条直线y=kx+b，使得对公共定义域内的任意实数均满足g（x）≤f（x）≤kx+b恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线y=kx+b为曲线f（x）与g（x）的“左同旁切线”．已知f（x）=Inx，g（x）=1-
（I）证明：直线y=x-l是f（x）与g（x）的“左同旁切线”；
（Ⅱ）设P（x₁，f（x₁）），Q（x₂，f（x₂））是函数 f（x）图象上任意两点，且0＜x₁＜x₂，若存在实数x₃＞0，使得f′（x₃）=．请结合（I）中的结论证明x₁＜x₃＜x₂．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意知f（x）与g（x）在公共点处的切线方程为y=x-1，欲证y=x-1就是左同旁切线方程，即证1-≤lnx≤x-1（x＞0），下面通过构造函数利用导数研究其最值即可证出结果；
（II）利用反证法进行证明，令x₃≤x₁，则x₃=≤x₁，从而可得x₂-x₁≤x₁ln ＜x₁（ -1）=x₂-x₁，由此得证．
解答：解：（I）欲证y=x-1就是左同旁切线方程，即证1-≤lnx≤x-1（x＞0）．
先构造函数h（x）=lnx-x+1（x＞0），则h'（x）=-1=，
令h'（x）＞0可得0＜x＜1，h'（x）＜0可得x＜0或x＞1，
∴函数在x=1处h（x）取得最大值h（1）=0，所以lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1（x＞0）．（4分）
再构造函数φ（x）=lnx-1+（x＞0），则φ′（x）=，
令φ'（x）＞0可得x＞1，φ'（x）＜0可得x＜1，
∴在x=1处φ（x）取得最小值φ（1）=0，所以lnx-1+≥0，即lnx≥1-（x＞0）．
故对任意x∈（0，+∞），恒有1-≤lnx≤x-1（x＞0）成立，
即y=x-1就是左同旁切线方程．（6分）
（II）因为f′（x）=，所以f′（x₃）===，所以x₃=．
令x₃≤x₁，则x₃=≤x₁，
∴x₂-x₁≤x₁ln ＜x₁（ -1）=x₂-x₁，
显然自相矛盾，故x₁＜x₃；同理可证x₃＜x₂．
故x₁＜x₃＜x₂．（12分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查新定义，考查函数的最值，正确理解新定义是关键．