Question

已知椭圆的焦点坐标为F₁(－1,0)，F₂(1,0)，过F₂垂直于长轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过F₂的直线l与椭圆交于不同的两点M，N，则△F₁MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）l的方程为x＝1.

(1)设椭圆方程为＝1(a>b>0)，
由焦点坐标可得c＝1.由|PQ|＝3，可得＝3.
又a²－b²＝1，得a＝2，b＝.故椭圆方程为.
(2)设M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，不妨令y₁>0，y₂<0，
设△F₁MN的内切圆的半径R，
则△F₁MN的周长为4a＝8，S△F₁MN＝ (|MN|＋|F₁M|＋|F₁N|)R＝4R，
因此要使△F₁MN内切圆的面积最大，则R最大，此时S△F₁MN也最大．
S△F₁MN＝|F₁F₂||y₁－y₂|＝y₁－y₂，
由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my＋1，
由得(3m²＋4)y²＋6my－9＝0，
得y₁＝，y₂＝，
则S△F₁MN＝y₁－y₂＝，
令t＝，则t≥1，则S△F₁MN＝.
令f(t)＝3t＋，则f′(t)＝3－，当t≥1时，f′(t)>0，
所以f(t)在[1，＋∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)＝4，S△F₁MN≤＝3，
当t＝1，m＝0时，S△F₁MN＝3，又S△F₁MN＝4R，∴R_max＝.
这时所求内切圆面积的最大值为π.
故△F₁MN内切圆面积的最大值为π，且此时直线l的方程为x＝1.