【题目】如果函数在定义域内存在区间,使得该函数在区间上的值域为,则称函数是该定义域上的“和谐函数”.
(1)求证:函数是“和谐函数”;
(2)若函数是“和谐函数”,求实数的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】试题分析:(1)利用“和谐函数”的定义将问题转化为,再验证进行求解;(2)利用“和谐函数”的定义将问题转化为和的图像至少有2个交点,再利用整体换元和数形结合思想进行求解.
试题解析:(1)要证:存在区间使得在上的值域为,
又由于是一个单调递増的函数,且定义域为
故只需证存在实数满足,且有
观察得,
即存在符合题意
故函数是“和谐函数”
(2)由题,即存在实数满足,使得在区间上的值域为,
由于单调递増,从而有,
该方程组等价于方程在有至少2个解,
即在上至少有2个解,
即和的图像至少有2个交点,
记,则,从而有,
记,配方得,
又,作出的图像可知, 时有两个交点,
综上, 的取值范围为.
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【题目】下面有命题:
①y=|sinx-|的周期是2π;
②y=sinx+sin|x|的值域是[0,2] ;
③方程cosx=lgx有三解;
④为正实数,在上递增,那么的取值范围是;
⑤在y=3sin(2x+)中,若f(x)=f(x2)=0,则x1-x2必为的整数倍;
⑥若A、B是锐角△ABC的两个内角,则点P(cosB-sinA,sinB-cosA)在第二象限;
⑦在中,若,则钝角三角形。
其中真命题个数为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点.
(1)求证:AC⊥BC1;
(2)求证:AC1∥平面CDB1;
(3)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
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【题目】已知F1(﹣c,0)、F2(c,0)分别是椭圆G: 的左、右焦点,点M是椭圆上一点,且MF2⊥F1F2 , |MF1|﹣|MF2|= a.
(1)求椭圆G的方程;
(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点,以AB为底作等腰三角形,顶点为P(﹣3,2),求△PAB的面积.
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【题目】设是两条不同的直线, 是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若,则 ②若,则
③若,则 ④若,则
其中正确命题的序号是( )
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ①和④
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【题目】如图,等边三角形的中线与中位线相交于,已知是绕旋转过程中的一个图形,给出以下四个命题:①平面;②平面平面;③动点在平面上的射影在线段上;④异面直线与不可能垂直. 其中正确命题的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】在△ABC中,角A,B,C对应的边分别是a,b,c,已知cos2A﹣3cos(B+C)=1.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)若△ABC的面积S=5 ,b=5,求sinBsinC的值.
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