Question

若f（x）=sinθcosx+（tanθ-2）sinx-sinθ是偶函数，θ为常数，且f（x）的最小值是0．
（1）求tanθ的值；   
（2）求f（x）的最大值及此时x的集合．

Answer 1

分析：（1）利用偶函数的定义f（-x）=f（x）即可得出；
（2）利用同角三角函数基本关系式即可得出sinθ与cosθ，进而得到函数f（x）的解析式即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）是偶函数，
∴?x∈R，都有f（-x）=f（x），化为（tanθ-2）sinx=0，解得tanθ=2．
（2）由

sin2θ+cos2θ=1 sinθ cosθ =2

解得

sinθ= 2 5 5 cosθ= 5 5

或

sinθ=- 2 5 5 cosθ=- 5 5

此时，f（x）=sinθ（cosx-1）．
当sinθ=

2 5

5

时，f（x）=

2 5

5

(cosx-1)，最大值为0，不合题意，舍去；
当sinθ=-

2 5

5

时，f（x）=-

2 5

5

(cosx-1)最小值为0．
当cosx=-1时，f（x）有最大值为

4 5

5

，自变量x的集合为{x|x=2kπ+π，k∈Z}．

点评：熟练掌握偶函数的性质、三角函数基本关系式、三角函数的单调性等是解题的关键．