Question

已知函数f（x）=kx²+lnx，若f（x）＜0在函数定义域内恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：求出原函数的导函数，利用导数求得函数的最大值，由最大值小于0求得k的范围．

解答： 解：由f（x）=kx²+lnx（x＞0），得f′(x)=2kx+

1

x

=

2kx2+1

x

，
当k≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又当x→+∞时，f（x）→+∞．不满足f（x）＜0在函数定义域内恒成立；
当k＜0时，由f′（x）=0，解得x=±

- 1 2k

．
当x∈（0，

- 1 2k

）时，f′（x）＞0，当x∈（

- 1 2k

，+∞）时，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，

- 1 2k

）上为增函数，在（

- 1 2k

，+∞）上为减函数，
∴f(x)max=f(

- 1 2k

)=k•(

- 1 2k

)2+ln

- 1 2k

=-

1

2

+ln

- 1 2k

．
由-

1

2

+ln

- 1 2k

＜0，得ln

- 1 2k

＜

1

2

，即k＜-

1

2e

．
∴k的取值范围是（-∞，-

1

2e

）．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．