A. | $\frac{\sqrt{5}}{2}$ | B. | $\frac{\sqrt{10}}{2}$ | C. | $\frac{3+\sqrt{3}}{4}$ | D. | $\frac{\sqrt{6}+3\sqrt{2}}{4}$ |
分析 设P(x,y),B($\sqrt{5}$,0),C($\sqrt{5}$,$\sqrt{3}$),D(0,$\sqrt{3}$),推导出${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{4}$,$x+y=\sqrt{5}λ+\sqrt{3}μ$,由此能求出$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ的最大值.
解答 解:如图,设P(x,y),B($\sqrt{5}$,0),C($\sqrt{5}$,$\sqrt{3}$),D(0,$\sqrt{3}$),
∵AP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$,∴${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{4}$,
点P满足的约束条件为:$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤\sqrt{5}}\\{0≤y≤\sqrt{3}}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=\frac{5}{4}}\end{array}\right.$,
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AD}$(λ,μ∈R),∴(x,y)=$λ(\sqrt{5},0)+μ(0,\sqrt{3})$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{5}λ}\\{y=\sqrt{3}μ}\end{array}\right.$,∴$x+y=\sqrt{5}λ+\sqrt{3}μ$,
∵$x+y≤\sqrt{2({x}^{2}+{y}^{2})}$=$\sqrt{2×\frac{5}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,
当且仅当x=y时取等号,
∴$\sqrt{5}$λ+$\sqrt{3}$μ=x+y的最大值为$\frac{\sqrt{10}}{2}$.
故选:B.
点评 本题考查代数式的最大值的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意数形结合思想的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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A. | (4,-2) | B. | (-2,4) | C. | (4,2) | D. | (2,4) |
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A. | p∧q | B. | p∧¬q | C. | ¬p∧¬q | D. | ¬p∨q |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2 | B. | -2 | C. | -98 | D. | 98 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | [0,1)∪(1,2] | B. | [0,1)∪(1,4] | C. | [0,1) | D. | (1,4] |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 12π | B. | 16π | C. | 20π | D. | 25π |
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A. | 60° | B. | 30° | C. | 150° | D. | 120° |
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