Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\frac{\sqrt{3}a}{sinA}=\frac{b}{cosB}$．
（1）求角B的大小；
（2）求$\sqrt{3}$sinA-cosC的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

Answer 1

分析 （1）由条件结合正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}a}{sinA}=\frac{b}{cosB}=\frac{\sqrt{3}b}{sinB}$，解得tanB=$\sqrt{3}$，结合B的范围即可解得B的大小．
（2）由（1）可得：C=$\frac{2π}{3}$-A，利用三角函数恒等变换的应用可得$\sqrt{3}$sinA-cosC=sin（A+$\frac{π}{6}$），由范围A∈（0，$\frac{2π}{3}$），结合正弦函数的图象和性质即可得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由条件结合正弦定理可得：$\frac{\sqrt{3}a}{sinA}=\frac{b}{cosB}=\frac{\sqrt{3}b}{sinB}$，
从而解得：tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$…4分
（2）∵由（1）可得：C=$\frac{2π}{3}$-A，
∴$\sqrt{3}$sinA-cosC=$\sqrt{3}$sinA-cos（$\frac{2π}{3}$-A）
=$\sqrt{3}$sinA-cos$\frac{2π}{3}$cosA-sin$\frac{2π}{3}$sinA
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA+$\frac{1}{2}$cosA
=sin（A+$\frac{π}{6}$）．
∵A∈（0，$\frac{2π}{3}$），
∴A+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴当A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，$\sqrt{3}$sinA-cosC取得最大值1，此时，A=$\frac{π}{3}$，B=$\frac{π}{3}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．